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Leis de Kirchhoff e Sistemas de Equações Lineares

Leis de Kirchhoff e Sistemas de Equações Lineares

Malha resistiva

Malha resistiva

Um dos tópicos de eletricidade que costuma causar pânico aos estudantes e que, quase sempre, aparece nas provas de concursos, são os circuitos elétricos envolvendo resistores e fontes de tensão como o da figura ao lado.

Vários são os métodos para resolução destes circuitos e um deles, que servirá de “gancho” para este post, utiliza as Leis de Kirchhoff.

Na verdade não irei tratar do método de Kirchhoff propriamente para obter o sistema de equações lineares dele decorrente e que nos permitirá encontrar as correntes no circuito, o que me interessa mesmo é mostrar como se pode simplificar a resolução dos sistemas de equações lineares quando temos três ou mais equações.

Vale lembrar que o que vai ser apresentado aqui, obviamente, não se aplica apenas ao caso particular das malhas de Kirchhoff e pode ser utilizado em que qualquer situação que se necessite resolver sistemas de equações lineares.

Quando o sistema tem apenas duas equações e duas incógnitas a sua resolução é bem simples, podendo se utilizar os chamados métodos de adição ou substituição, e por isso a “mágica” que eu vou apresentar não vale muito a pena nestes casos.

O que interessa mesmo é simplificar a resolução de sistemas com três equações e três incógnitas ou mais.

Os livros de matemática costumam recomendar o uso de determinantes da matriz obtida a partir do sistema, um pouco trabalhoso, mas atende a quem é afeito a decorebas.

O bicho pega mesmo é a partir de quatro equações e quatro incógnitas e no meio de tantas regrinhas de simplificação de determinantes o estudante acaba “entrando em curto”.

O fabuloso “método” de Gauss

Aprendi a resolver sistemas de equações lineares por este método, que tecnicamente é o que se chama em matemática de algoritmo, através do meu inesquecível professor Paulo Baptista de Oliveira, o PBO, lá no meu curso técnico.

Nunca o tinha visto antes e confesso que nunca vi, até hoje, nenhum livro explicando-o.

Por que será que não ensinam coisas úteis e práticas?

Nas linhas a seguir vou apresentar o passo a passo para resolução de um sistema com quatro equações e quatro incógnitas aqui designadas por i1 até i4 porque surgiram da aplicação das Leis de Kirchhoff em algum circuito (não o do exemplo dado) que não interessa aqui mostrar.

Se você é um estudante de ensino médio ou está tentando resolver sistemas deste tipo, comuns também em álgebra linear, as letras i1 até i4 aparecerão como x, y, w e z. Dá no mesmo.

Vamos a um exemplo.

Suponhamos que ao analisar uma malha resistiva de um circuito, Kirchhoff nos deu as seguintes equações:

                                                       i– 2 i2   = 3 i3 – 4i4 – 4

                                                     3 i1 –  i3  + 2 i4  – 16 = 0

                                                      5 i2 + 2 i3 = 3 i4 + 20

                                                      i2 – 7 i4 – 10 = – i2 – 4 i1

Para aplicar o método devemos seguir os três passos abaixo.

Arrume o sistema da seguinte maneira:

  • Coloque todos os termos que possuem as incógnitas do lado esquerdo do sinal de igualdade e os termos constantes do lado direito;
  • Faça a arrumação de modo que as mesmas incógnitas fiquem alinhadas na mesma coluna;
  • Se faltar uma incógnita complete sua coluna com coeficiente zero e se “não tiver” coeficiente, significa que é um.

                         1  i–  2 i2 – 3 i3 +  4i4  = – 4        equação 1

                                        3 i1  + 0 i 1 i3  + 2 i4  =  16        equação 2

                         0 i1  +  5 i2 + 2 i3 – 3 i4   = 20         equação 3

                                        4 i1  +   1 i2  + 0 i3 – 7 i4 = 10         equação 4

Até aqui nada de novo. Seja lá o método que se queira utilizar, esta arrumação “na casa” é sempre muito útil.

Lembre-se: – a organização é metade da execução!

Uma vez arrumado todo o sistema construa o seguinte quadro:

Arrumando um sistema de equações lineares

Arrumando um sistema de equações lineares

Uma vez montado o quadro acima (que repito abaixo) faça as operações mostradas a seguir considerando SEMPRE as linhas e colunas da Eq.1 como referência.

Algoritmo para resolver um sistema de equações lineares

Algoritmo para resolver um sistema de equações lineares

Repare que no primeiro cálculo trabalhamos com a primeira e a segunda linha, bem como primeira e segunda coluna.

Veja no destaque abaixo.

Começando a usar o algorítmo

Começando a usar o algorímo

Vamos passar para o próximo cálculo e você já vai pegar o jeito.

Efetuando o segundo cálculo

Efetuando o segundo cálculo

Repare na figura acima que agora eu “pulei” a segunda coluna e trabalhei com a primeira e a terceira colunas.

Repare onde foi colocado o “6” do cálculo anterior.

Criei uma nova linha abaixo da Eq.4, mas sem a primeira coluna e “8” da conta da segunda conta, agora foi colocado ao lado do “6”.

Você seria capaz de descobrir como surgiu o “-10” que aparece do lado do “8”?

É assim, “pulei a segunda e terceira coluna e trabalhei com a primeira e quarta: 1 x 2 – 4 x 3 = 2 – 12 = – 10.

E o 28? Experimente fazer primeira coluna com a quinta:

                                                             1 x 16 – (3 x (-4)) = 16 + 12 = 28.

Com este procedimento “elimina-se” a primeira coluna.

O próximo passo será fazer cálculos parecidos, mas trabalhando com a primeira e terceira linha do sistema original. Veja a figura.Conta 4

Já desconfiou o que vem a seguir? Será trabalhar com a primei4a e quarta colunas e o resultado fica do jeito mostrado abaixo.

Sistema reduzido de 4 para 3 equações

Sistema reduzido de 4 para 3 equações

Reparou que nosso sistema foi reduzido de quatro equações com quatro incógnitas para um “novo” sistema de três equações com três incógnitas e só tivemos trabalho “braçal” para fazer isso. Não precisamos “pensar”!

E agora, se aplicarmos o método ao “novo” sistema “três por três” dá pra desconfiar que obteremos um sistema “dois por dois”?

Em outras palavras, a ideia é ir reduzindo o número de equações e o número de incógnitas até chegar a uma equação com uma incógnita.

Veja como vai ficar.

Encontrando a primeira incógnita

Encontrando a primeira incógnita

Acabamos de descobrir o valor de i4.

Se você olhar as equações 8 e 9 do quadro acima verá que só temos i3 e i4 e o valor desta última já sabemos que é igual a 2.

Antes, porém vale a pena observar que neste caso podemos dividir por quatro todos os números da eq.8 e assim, teremos números menores o que, sem dúvida, facilita as contas.

A equação 8, após a simplificação, nos dá  -7 i3 + 8 i4 = -5 e portanto, se substituirmos i4 por 2 teremos

                      – 7 i3 + 8 x 2 = -5 ou finalmente i3 = 3.

Pronto já encontramos o valor de mais uma incógnita, i3. A fila está andando!

Já desconfiou qual será o próximo passo?

Espero que tenha dito que é encontrar o valor de i2 e para tal vou escolher as equações 5, 6 ou 7.

Aí fica a gosto do freguês, se tiver uma “mais barata”, isto é, com números menores, vamos nessa.

Neste caso parece que tanto faz, então vou pegar a equação 5 mesmo:  6 i2 + 8 i3 – 10 i4 = 28 e fazer i3 = 3 e i4 = 2.

Vamos às contas:  6 i2 + 8×3 – 10×2 = 28 o que nos dará i2 =  4.

“Matamos” mais uma incógnita e só falta i1.

Podemos escolher qualquer uma das quatro equações originais e substituir os valores já “descobertos” de i2, i3 e i4 para achar i1.

Uni, dune, tê, eq.1 a escolhida foi vo….CÊ.

E a luta continua: i1 -2 x 4 – 3 x 3 + 4 x 2 = -4 e tchan, tchan, tchan … i1 = 5.

Gostou, então vou deixar um sistema para você praticar e postar as respostas nos comentários.

                                   x – 2 y – 3  z + 4 w + 4 = 0

                                   3 x + 2 w – z – 16 = 0

                                 -3 w + 5 y +2 z = 20

                                  4 x – 7 w + y = 10        

Divirta-se, vai ser emocionante!

 

Leis de Kirchhoff e Sistemas de Equações Lineares
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Técnico em eletrônica formado em 1968 pela Escola Técnica de Ciências Eletrônicas, professor de matemática formado pela UFF/CEDERJ com especialização em física. Atualmente aposentado atuando como técnico free lance em restauração de aparelhos antigos, escrevendo e-books e artigos técnicos e dando aula particular de matemática e física.

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4 Responses to “Leis de Kirchhoff e Sistemas de Equações Lineares”

  1. Desconhecia este método. Para Kirchhoff geralmente uso graficos ou o teorema de Jacobi, mas este, sinceramente era desconhecido para mim e vou tentá-lo

    • Paulo Brites disse:

      Eu nunca vi o método nesta forma de algoritmo em lugar alguma e eu sou um fuçador de livros. Aprendi-o com o Prof. Paulo Baptista de Oliveira (PBO) no curso técnico e sempre tenho divulgado. Aquelas coisas de escalonamento de matrizes são muito trabalhosas e no fundo o método faz isso em forma de algoritmo. O PBO o chamava de “método de Gauss”, mas nunca soube de onde ele tirou. Experimente e vai gostar, Quem tem habilidade com o Excel até daria para criar um macro para sistemas muito grandes.
      Experimenta e conta pra gente

  2. ivan de jesus disse:

    Muito boa essa dica, funcionou. Agora quando o valor de I da negativo é o sentido que eu adotei que está ao contrário?

    • Paulo Brites disse:

      Olá Ivan,
      Isso mesmo, em princípio, eu diria que sim o problema deve ter ocorrido porque o sentido da corrente foi arbitrado errado, entretanto não se pode descartar que tenha havido algum erro de cálculo.
      Eu sugiro que você substitua os valores encontrados em cada equação do sistema e veja se a conta fecha.

Fico muito contente quando alguém coloca um comentário, é sinal que leu

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